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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3 - Límite

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9. Dadas $f$ y $g$, calcular $h=g \circ f$. Dar, en cada caso, las ecuaciones de las asintotas de $h$ y de $h^{-1}$.
a) $f(x)=-2 x+1, \quad g(x)=\frac{-x+3}{4 x-1}$

Respuesta

Otro típico ejercicio de examen de los que hablamos en el curso. Es más de lo que veníamos viendo, pero todo junto. Son tres ejercicios en uno:

1. Calcular la composición de funciones -> $h(x)$
2. Calcular la inversa de la función -> $h^{-1}(x)$
3. Calcular las asíntotas de ambas funciones

Preparate el mate, el café, toma coraje y ¡empecemos!



1. Calculemos la composición de funciones:


$f(x) = -2x+1$,  $g(x) = \frac{-x+3}{4x-1}$
 $h(x) = g \circ f(x) = g(f(x)) = \frac{-(-2x+1)+3}{4(-2x+1)-1} = \frac{2x+2}{-8x+3}$


• $h(x) = \frac{2x+2}{-8x+3}$


  2. Vamos a obtener la inversa de $h(x)$:
$h(x) = \frac{2x+2}{-8x+3}$
$y = \frac{2x+2}{-8x+3}$
$x = \frac{2y+2}{-8y+3}$
$x(-8y+3) = 2y+2$
$-8xy+3x = 2y+2$
$3x-2 = 2y+8xy$
$3x-2 = y(2+8x)$
$y = \frac{3x-2}{8x+2}$
• $h^{-1}(x) = \frac{3x-2}{8x+2}$

3. Ahora vamos a buscar las asíntotas:
-> Asíntotas de la función $h(x)$:
AH: $\lim_{x \to \infty} \frac{2x+2}{-8x+3} = \frac{\infty}{\infty} \rightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{x(2+\frac{2}{x})}{x(-8+\frac{3}{x})} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$
$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x+2}{-8x+3} = \frac{\infty}{\infty} \rightarrow \lim_{x \to -\infty} \frac{x(2+\frac{2}{x})}{x(-8+\frac{3}{x})} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$
• Por lo tanto, $h(x)$ tiene asíntota horizontal en $y = -\frac{1}{4}$

AV:
Para obtener las asíntotas verticales primero obtenemos el dominio.
$-8x + 3 \neq 0 \rightarrow -8x \neq -3 \rightarrow x \neq \frac{-3}{-8} \rightarrow x \neq \frac{3}{8}$
Veamos qué pasa en el valor $x = \frac{3}{8}$
$\lim_{x \to \frac{3}{8}} \frac{2x+2}{-8x+3} = \infty$
• Por lo tanto, $h(x)$ tiene asíntota vertical en $x = \frac{3}{8}$

-> Asíntotas de la función $h^{-1}$:

AH: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x-2}{8x+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(3-\frac{2}{x})}{x(8+\frac{2}{x})} = \frac{3}{8}$
$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x-2}{8x+2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(3-\frac{2}{x})}{x(8+\frac{2}{x})} = \frac{3}{8}$
• Por lo tanto, $h^{-1}$ tiene asíntota horizontal en $y = \frac{3}{8}$

AV: Ahora para obtener las asíntotas verticales primero obtenemos el dominio.
$8x+2 \neq 0 \rightarrow x \neq -\frac{1}{4}$
Veamos qué pasa en el valor $x = -\frac{1}{4}$
$\lim_{x \to -\frac{1}{4}^+} \frac{3x-2}{8x+2} = \frac{3(-\frac{1}{4}^+)-2}{8(-\frac{1}{4}^+)+2} = -\infty$
$\lim_{x \to -\frac{1}{4}^-} \frac{3x-2}{8x+2} = \frac{3(-\frac{1}{4}^-)-2}{8(-\frac{1}{4}^-)+2} = +\infty$
• Por lo tanto, $h^{-1}$ tiene asíntota vertical en $x = -\frac{1}{4}$
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Avatar camila 26 de septiembre 16:23
hola profe, a mi la inversa me quedó -3x+2 sobre -8x-2 y llegue a los mismos resultados, esta bien?
Avatar Julieta Profesor 30 de septiembre 16:39
@camila Está perfecto Cami!! Es que cuando yo despejé para un lado vos despejaste para el otro. Pero es exactamente la misma función solo que escrita de forma diferente. Como decir María Perez o Perez María jajaja. 

Si querés saber si lo hiciste y te dio igual que a mí: reemplazá un valor de x en tu función y en la mía. Por ej. x=2. Entonces haces la cuenta cuando x=2 en mi función y en la tuya. Si da el mismo resultado lo hiciste bien.
Avatar Tatiana 17 de septiembre 23:00
profe por qué en la asíntota vertical de h(x) al 3/8 se hace un solo límite y, en la asíntota vertical de h-1(x) al -1/4  sí se hace el límite por izquierda y por derecha? 
Avatar Julieta Profesor 19 de septiembre 13:01
@Tatiana Hola Tati, en realidad lo correcto sería siempre hacerla en ambos lados. Pasa que al ser una homográfica y como no te piden graficarla ya sabés que te va a dar lo infinito y no importa el signo. Pero si tuvieras que graficar (cosa que no suelen pedir mucho por suerte) tendrías que calcular el límite para + inf y para - inf, y para el valor de la AV por izquierda y por derecha. 
Avatar Julieta Profesor 19 de septiembre 15:51
@Tatiana Eso porque hay profes que quiere que los hagas por ambos lados y a otros que les da igual, así que les dejo ambos casos y te recomiendo que le preguntes a tu docente qué prefiere. Peeeero lo que sí, si te piden graficar, ahí sí o sí tenés que hacer el límite evaluándolo de ambos lados.
Avatar Abigail 17 de septiembre 20:02
hola profe, yo saque la inversa de h con la primera forma que explicaste en el primer video, me quedo y= 2-2x/-8x-3, esta bien aunque me de numeros negativos?
Avatar Julieta Profesor 18 de septiembre 20:21
@Abigail Abi sí! Eso depende de si despejas las y para un lado o para el otro. ¿Sabés cómo hago yo cuando me queda la expresión escrita de forma diferente? Multiplico el numerador por -1 y el denominador también por -1 y tengo que llegar a la misma expresión. En este caso si vos hacés eso en la expresión a la que llegaste seguramente llegues a la misma que llegué yo. Son ambas expresiones equivalentes.
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